Question

已知圆M过两点A（1，-1），B（-1，1），且圆心M在x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
（3）若（x，y）在圆M上，求x²-2x+y²的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论；
（3）x²-2x+y²=2+2y，-1≤y≤3，即可求x²-2x+y²的取值范围．

解答： 解：（1）：线段AB的中点为（0，0），其垂直平分线方程为x-y=0．
解方程组

x-y=0 x+y-2=0.

所以圆M的圆心坐标为（1，1）．
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4．
（2）由题知，四边形PCMD的面积为S=S△PMC+S△PMD=

1

2

|CM|•|PC|+

1

2

|DM|•|PD|．
又|CM|=|DM|=2，|PC|=|PD|，
所以S=2|PC|，而|PC|=

|PM|2-|CM|2

=

|PM|2-4

，
即S=

|PM|2-4

．在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min=

|3×1+4×1+8|

32+42

=3，所以四边形PCMD面积的最小值为S=

|PM|2-4

=2

32-4

=2

5

．（3）x²-2x+y²=2+2y，
（3）∵（x-1）²=4-（y-1）²≥0，
∴-1≤y≤3，
∴0≤2+2y≤8，即x²-2x+y²的取值范围为[0，8]．

点评：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．