Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，{a_n}的前n项和为S_n，设a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

3an-1

2n

}的前n项和为T_n；
（3）记f（n）=

Sn

(n+18)Sn+1

，试问当n为何值时，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₃是a₁和a₉的等比中项，求出等差数列{a_n}的公差，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，求数列{

3an-1

2n

}的前n项和为T_n；
（3）利用基本不等式求f（n）的最大值．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则
∵a₃是a₁和a₉的等比中项，
∴（1+2d）²=1×（1+8d）           …（2分）
∵d≠0，∴d=1
∴a_n=n；      …（4分）
（2）

3an-1

2n

=

3n-1

2n

∴T_n=2×

1

2

+5×（

1

2

^）2+…+（3n-1）•（

1

2

^）n①
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

^）2+5×（

1

2

^）3+…+（3n-4）×（

1

2

^）n+（3n-1）•（

1

2

^）n+1②
①-②得T_n=5-

3n+5

2n

，…（9分）
（3）由（1）可得a_n=n，S_n=

n(1+n)

2

                     …（10分）
∴f（n）=

Sn

(n+18)Sn+1

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

12+20

=

1

32

                       …（13分）
当且仅当n=

36

n

，即n=6时，f（n）取得最大值

1

32

．    …（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．