Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x-1+m，其中x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为4，求m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期，根据正弦函数的性质求得函数的最大值；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到f（x）取最小值为4时的x值，得到关于m的方程．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+

3

sin2x+m=2sin（2x+

π

6

）+m，
∴T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）由x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，six（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴-

1

2

×2+m=4，
解得m=5．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题时可注意与正弦函数图象相结合来求周期、单调区间以及最值．