Question

某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（距2月1日的天数，单位：天）的部分数据如下表：

时间t	50	110	250
成本Q	150	108	150

（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数Q=at+b，Q=at²+bt+c，Q=a•b^t，Q=a•log_bt中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，说明选择理由，并求所选函数的解析式；
（Ⅱ）利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

Answer 1

考点：塞瓦定理,函数模型的选择与应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at²+bt+c进行描述，将表格所提供的三组数据（50，150），（110，108），（250，150）代入Q，即得函数解析式；
（Ⅱ）由二次函数的图象与性质可得，函数Q在t取何值时，有最小值．

解答： 解：（Ⅰ）根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q=at+b，Q=a•b^t，Q=a•log_bt均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q=at²+bt+c进行描述． …4分
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：

2500a+50b+c=150 12100a+110b+c=108 62500a+250b+c=150.

…6分
解得a=

1

200

，b=-

3

2

，c=

425

2

． …9分
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q=

1

200

t2-

3

2

t+

425

2

．…10分
（Ⅱ）当t=-=150天时，西红柿种植成本Q最低为Q=

1

200

×150²-

3

2

×150+

425

2

=100（元/100kg）． …12分
所以，西红柿种植成本Q最低时的上市天数是150天，最低种植成本为100（元/100kg） …13分．

点评：本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．