题目内容
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别为棱AD、，AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面C1BD；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面C1BD．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，证明EF∥BD，再利用线面平行的判定定理证明EF∥平面C1BD；
（Ⅱ）证明BD⊥平面CAA1C1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面CAA1C1⊥平面C1BD．
（Ⅱ）证明BD⊥平面CAA1C1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面CAA1C1⊥平面C1BD．
解答：
证明：（Ⅰ）∵E，F分别为AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD…（3分）
又∵EF?面C1BD，BD?面C1BD…（4分）
∴EF∥面C1BD…（5分）
（Ⅱ）∵长方体ABCD-A1B1C1D1，∴AA1⊥面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴AA1⊥BD…（7分）
∵AC⊥BD，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面CAA1C1，
∵BD?平面C1BD，
∴平面CAA1C1⊥平面C1BD．
∴EF∥BD…（3分）
又∵EF?面C1BD，BD?面C1BD…（4分）
∴EF∥面C1BD…（5分）
（Ⅱ）∵长方体ABCD-A1B1C1D1，∴AA1⊥面ABCD，
∵BD?面ABCD，∴AA1⊥BD…（7分）
∵AC⊥BD，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面CAA1C1，
∵BD?平面C1BD，
∴平面CAA1C1⊥平面C1BD．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，（Ⅰ）中的关键是证明EF∥BD，（Ⅱ）中的关键是证明BD⊥平面CAA1C1．
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