题目内容
已知函数f（x）=
是奇函数，且f（2）=
，
（1）求实数p，q的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．
| px2+2 |
| 3x+q |
| 5 |
| 3 |
（1）求实数p，q的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性．
考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）直接根据奇函数的定义确定有关参数的值；
（2）借助于导数求解函数的单调增区间和减区间．
（2）借助于导数求解函数的单调增区间和减区间．
解答：
解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴
+
=0，
∴q=0，
∵f（2）=
，
∴
+
=
，
∴p=1，
∴实数p，q的值分别为1，0；
（2）根据（1），f（x）=
+
，
∵f′（x）=
-
，（x＞1），
令f′（x）＞0，
∴x＞
，
f′（x）＜0，
∴1＜x＜
，
∴f（x）的增区间为：（
，+∞），
减区间为（1，
），
∴f（-x）+f（x）=0，
∴
| px2+2 |
| -3x+q |
| px2+2 |
| 3x+q |
∴q=0，
∵f（2）=
| 5 |
| 3 |
∴
| 4p |
| 3 |
| 2 |
| 3×2 |
| 5 |
| 3 |
∴p=1，
∴实数p，q的值分别为1，0；
（2）根据（1），f（x）=
| x |
| 3 |
| 2 |
| 3x |
∵f′（x）=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3x2 |
令f′（x）＞0，
∴x＞
| 2 |
f′（x）＜0，
∴1＜x＜
| 2 |
∴f（x）的增区间为：（
| 2 |
减区间为（1，
| 2 |
点评：本题重点考查了函数是奇函数的重要性质，利用导数研究函数的单调性问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
| A、54+54π |
| B、54+27π |
| C、27+27π |
| D、27+54π |
如图三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC1；AA1=