Question

已知sinα=

4 3

7

，cos（β-α）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

．
（1）求tan2α的值；
（2）求β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，求解cosα的值，然后，得到tanα的值，从而求解tan2α的值；
（2）根据β=（β-α）+α，从而确定β的值．

解答： 解：（1）由sinα=

4 3

7

，0＜α＜

π

2

，
得cosα=

1-sin2α

=

1-( 4 3 7 )2

=

1

7

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

4 3

7

×

7

1

=4

3

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×4 3

1-(4 3 )2

=-

8 3

47

；
（2）由0＜β＜α＜

π

2

，
得-

π

2

＜β-α＜0，
又∵cos(β-α)=

13

14

，
∴sin(β-α)=-

1-cos2(β-α)

=-

1-( 13 14 )2

=-

3 3

14

，
由β=（β-α）+α，
得cosβ=cos[（β-α）+α]
=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα
=

13

14

×

1

7

+

3 3

14

×

4 3

7

=

1

2

，
∴由0＜β＜

π

2

，得
β=

π

3

．

点评：本题重点考查了二倍角公式、角的灵活拆分等知识，属于中档题．