Question

设函数f（x）=|x-1|+|2x+1|
（Ⅰ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|

1

2

a-1|解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）令y=|x-1|+|2x+1|，对自变量x分类讨论，去掉绝对值符号，解相应的不等式f（x）＜3即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为

3

2

，依题意，解不等式需

3

2

≤|

1

2

a-1|即可．

解答： 解：（Ⅰ）令y=|x-1|+|2x+1|，则y=

-3x，x≤- 1 2 2+x，- 1 2 ＜x＜1 3x，x≥1

，
∵y＜3，
∴-1＜x＜1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为

3

2

，所以只需

3

2

≤|

1

2

a-1|，
解得：a≥5或a≤-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]∪[5，+∞）…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，考查理解与运算能力，属于中档题．