题目内容
某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用
专题：应用题,导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）年利润=单件利润×年产量-治理污染费用；
（Ⅱ）求导L′（x）=（11-x ）（17+2a-3x），由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x．分①当
≤
≤7，②当7＜
≤
两种情况讨论可得最大值；
（Ⅱ）求导L′（x）=（11-x ）（17+2a-3x），由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x．分①当
| 19 |
| 3 |
| 17+2a |
| 3 |
| 17+2a |
| 3 |
| 23 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）依题意，L（x）=（x-3）（11-x）2-a（11-x）2
=（x-3-a）（11-x）2，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）2-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=
．
∵1≤a≤3，∴
≤
≤
．
在x=
的两侧L′（x）由正变负，
故①当
≤
≤7，即1≤a≤2时，L′（x）在[7，10]上恒为负，
∴L（x）在[7，10]上为减函数．
∴[L（x）]max=L（7）=16（4-a）．
②当7＜
≤
，即2＜a≤3时，[L（x）]max=L（
）=
（8-a）3，
故1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为
元时，年利润最大，为
（8-a）3万元．
=（x-3-a）（11-x）2，x∈[7，10]．
（Ⅱ）∵L′（x）=（11-x）2-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x ）（17+2a-3x）．
由L′（x）=0，得x=11∉[7，10]或x=
| 17+2a |
| 3 |
∵1≤a≤3，∴
| 19 |
| 3 |
| 17+2a |
| 3 |
| 23 |
| 3 |
在x=
| 17+2a |
| 3 |
故①当
| 19 |
| 3 |
| 17+2a |
| 3 |
∴L（x）在[7，10]上为减函数．
∴[L（x）]max=L（7）=16（4-a）．
②当7＜
| 17+2a |
| 3 |
| 23 |
| 3 |
| 17+2a |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
故1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为
| 17+2a |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
点评：本题以实际问题为背景，构建函数模型并用其解决问题，考查应用导数求函数最值，体现数学的应用价值．
练习册系列答案
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