Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC₁；AA₁=

3 3

2

，D是CB延长线上一点，且BD=BC，
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D
（2）若在几何体A₁B₁C₁-ACD内随机取一点，求该点落在三棱锥C₁-ABB₁内的概率．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可得到结论．
（2）求出对于几何体的体积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．

解答： 解：（1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁可知，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
D是CB延长线上一点，且BD=BC，
则BD∥B₁C₁，BD=B₁C₁，
即四边形BDB₁C₁为平行四边形，
故BC₁∥DB₁，
又DB₁?平面AB₁D，BC?AB₁D，
故BC₁∥平面AB₁D．
（2）由A向BC作垂线，垂足为E，
则AE⊥BC，
又AA₁⊥底面ABC，且AA₁∥CC₁，
故CC₁⊥底面ABC，
则CC₁⊥AE，
故点A到平面BB₁C₁的距离为AE，
∵底面ABC是边长为3的正三角形，
∴AE=

3 3

2

，
则三棱锥C₁-ABB₁内体积V=

1

3

|AE|•S=

1

3

×

3 3

2

×(

1

2

×3×

3 3

2

)=

27

8

，
三棱柱A₁B₁C₁-ACD的体积为

4

3

×

3 3

2

×

3

4

×3=

27

2

，
故所求的概率P=

27 8

27 2

=

1

4

．

点评：本题主要考查线面平行的判定以及，几何槪型的概率的计算，综合性较强．