Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=5，数列a₁=-1，且

Sn

n

=2×

an

n

+1（其中S_n为{a_n}的前n项和），则f（a₆）+f（a₇）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据

Sn

n

=2×

an

n

+1，得到s_n=2a_n+n，然后，利用递推法得到：数列{a_n-1}是首项为-1，公比为2的等比数列，从而得到a_n=-2ⁿ+1，然后，结合函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），该函数为周期为3的函数，从而求解．

解答： 解：∵

Sn

n

=2×

an

n

+1，
∴s_n=2a_n+n，
∴当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1）=2a_n-2a_n-1+1
∴a_n=2a_n-1-1（n≥2），
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
∵a₁=-1，
∴数列{a_n-1}是首项为-1，公比为2的等比数列，
∴它的通项公式为：
a_n=-2ⁿ+1，
∴a₆=-63，a₇=-127，
∵函数f（x）是奇函数且满足f（

3

2

-x）=f（x），
有f（

3

2

-x）=-f（-x），
则f（3-x）=-f（

3

2

-x）=f（-x），
即f（3-x）=f（-x），
∴f（x）为周期为3的函数，
∴f（a₆）+f（a₇）=f（-63）+f（-127）
=f（0）+f（-1）=f（2）=-5，
故答案为：-5．

点评：本题综合考查了函数的周期性、奇偶性、数列的概念和通项公式等知识，考查比较综合，属于中档题，本题的解题关键是构造数列，然后根据构造的数列写出需要的数列．