Question

已知函数f（x）=|x|-|x-3|．
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得关于x的不等式m≤f（x₀）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把关于x的不等式f（x）≥1转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值，即可求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等价于①：

x≤0 -x+(x-3)≥1

，或②：

0＜x＜3 x+(x-3)≥1

，或③：

x≥3 x+(x-3)≥1

．
不等式组①无解；解不等式组②得：2≤x＜3；解不等式组③得：x≥3．
所以原不等式的解集为[2，+∞）．
（Ⅱ）∵存在x₀∈R，使得关于x的不等式m≤f（x₀）成立，∴m≤f_max（x）．
∵f（x）=|x|-|x-3|≤|x-（x-3）|=3，所以 f_max（x）=3，所以m≤3，即m∈（-∞，3]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．