Question

已知不等式

x+2

x+1

＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

2

m

+

1

n

的最小值为（　　）

• A、4

  2

• B、8
• C、9
• D、12

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由不等式

x+2

x+1

＜0，解得-2＜x＜-1．可得a=-2，b=-1．由于点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，可得2m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：不等式

x+2

x+1

＜0?（x+2）（x+1）＜0，解得-2＜x＜-1．
∴不等式

x+2

x+1

＜0的解集为{x|-2＜x＜-1}，
∴a=-2，b=-1．
∵点A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，化为2m+n=1．
∵mn＞0，
∴

2

m

+

1

n

=(2m+n)(

2

m

+

1

n

)=5+

2n

m

+

2m

n

≥5+2×2×

n m × m n

=9，当且仅当m=n=

1

3

时取等号．
∴

2

m

+

1

n

的最小值为9．
故选：C．

点评：本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质，属于基础题．