题目内容
已知|
|=4，|
|=3，（2
-3
）•（2
+
）=61．
（1）求
与
的夹角θ；
（2）设
=
，
=
，以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）设
| OA |
| a |
| OB |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算法则及其定义即可得出．
（2）利用数量积的性质即可得出．
（2）利用数量积的性质即可得出．
解答：
解：（1）∵（2
-3
）•（2
+
）=61，
∴4
2-3
2-4
•
=61．
又|
|=4，|
|=3．
∴4×42-3×32-4×4×3×cosθ=61，
化为cosθ=-
，
∴θ=
．
（2）以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长度分别为|
+
|，|
-
|．
由（1）可得
•
=|
| |
|cos
=4×3×(-
)=-6．
∴|
+
|=
=
=
．
|
-
|=
=
=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴4
| a |
| b |
| a |
| b |
又|
| a |
| b |
∴4×42-3×32-4×4×3×cosθ=61，
化为cosθ=-
| 1 |
| 2 |
∴θ=
| 2π |
| 3 |
（2）以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长度分别为|
| a |
| b |
| a |
| b |
由（1）可得
| a |
| b |
| a |
| b |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
|
| 42+32+2×(-6) |
| 13 |
|
| a |
| b |
|
| 42+32-2×(-6) |
| 37 |
点评：本题考查了数量积的定义、运算法则及其性质，属于基础题．
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