Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边长，A、B均为锐角，若sinA=cosB，则$\frac{a+b}{c}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求cosA=sinB，进而利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦函数的有界性即可得解．

解答 解：∵sinA=cosB，可得sin²A=cos²B，
∴1-sin²A=1-cos²B，即：cos²A=sin²B，
∵A、B均为锐角，
∴cosA=sinB，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{sinA+sinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=$\frac{cosB+sinB}{co{s}^{2}B+si{n}^{2}B}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，（当且仅当B=$\frac{π}{4}$时等号成立）．
故选：B．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，正弦函数的有界性，属于基础题．