Question

14．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a_n=2•3^n-1（n∈N*），若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，则b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 a_n=2•3^n-1（n∈N*），可得S_n=$\frac{2（{3}^{n}-1）}{3-1}$=3ⁿ-1．可得：b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：a_n=2•3^n-1（n∈N*），∴S_n=$\frac{2（{3}^{n}-1）}{3-1}$=3ⁿ-1．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{2×{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
则b₁+b₂+…b_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．