Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x≤0}\\{（4-a）x+2a，x＞0}\end{array}\right.$若对于任意两个不等实数x₁，x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，3）
• B． [$\frac{1}{2}$，3）
• C． [0，4）
• D． [$\frac{1}{2}$，4）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=f（x）-x，则F（x）为增函数，列不等式组解出a的范围．

解答 解：不妨设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，
∴f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，
令F（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+（a-1）x，x≤0}\\{（3-a）x+2a，x＞0}\end{array}\right.$，则F（x）为增函数，
∴当x≤0时，F′（x）=e^x+（a-1）≥0恒成立，即a≥1-e^x在（-∞，0]上恒成立，
由y=1-e^x在（-∞，0]上单调递减，且x→-∞时，1-e^x→1，
∴a≥1，
当x＞0时，F（x）是一次函数，故3-a＞0，即a＜3，
又F（x）在R上是增函数，∴1≤2a，即a≥$\frac{1}{2}$．
综上，1≤a＜3．
故选A．

点评 本难题考查了分段函数的单调性，函数单调性的判断，属于中档题．