Question

17．已知f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x-5|≥6的解集；
（2）若函数g（x）=f（x）-|x-3|的值域为A，且[-1，2]⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，|x-1|+|2x-5|≥6，
x≤1时：1-x-2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，
1＜x＜2.5时：x-1-2x+5≥6，解得：x≤-1，不成立；
x≥2.5时：x-1+2x-5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，
故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；
（2）g（x）=|x-a|-|x-3|，
a≥3时：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，x≥a}\\{a+3-2x，3＜x＜a}\\{a-3，x≤3}\end{array}\right.$，
∴3-a≤g（x）≤a-3，
∵[-1，2]⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a≤-1}\\{a-3≥2}\end{array}\right.$，解得a≥5；
a＜3时，a-3≤g（x）≤3-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤-1}\\{3-a≥2}\end{array}\right.$，解得：a≤1；
综上：a≤1或a≥5．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．