Question

如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2

5

．
（Ⅰ） 求证：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ） 在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ） 求点A到平面PBE的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知条件，利用勾股定理推导出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能够证明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ） 当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．由已知条件推导出FQ∥BP，即可证明FQ∥平面PBE．
（Ⅲ） 由PF⊥平面ABED，知PF为三棱锥P-ABE的高，利用等积法能求出点A到平面PBE的距离．

解答： （本题满分14分）
解：（Ⅰ）连结EF，
由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF²+BF²=20+16=36=PB²，
所以PF⊥BF…（2分）
在图1中，利用勾股定理，得EF=

62+(12-3-4)2

=

61

，
在△PEF中，EF²+PF²=61+20=81=PE²，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF?平面ABED，EF?平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（Ⅱ） 当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．
证明如下：
∵AQ=

2

3

AP，AF=

2

3

AB，
∴FQ∥BP…（8分）
又∵FQ不包含于平面PBE，PB?平面PBE，
∴FQ∥平面PBE．…（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P-ABE的高．…（11分）
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得V_A-PBE=V_P-ABE，…（12分）
即

1

3

×S△PBEh=

1

3

×S△ABE•PF，
又S△PBE=

1

2

×6×9=27，S△ABE=

1

2

×12×6=36，
∴h=

S△ABE•PF

S△PBE

=

36×2 5

27

=

8 5

3

，
即点A到平面PBE的距离为

8 5

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的判断与证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．