Question

已知f(x)=

1

2

sin(x-

π

4

)(0≤x≤π)，求使f（x）≤cosα恒成立的α的范围．

Answer 1

考点：正弦函数的对称性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：依题意，当x∈[0，π]时，x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函数的单调性可求得f（x）_max=

1

2

，解不等式cosα≥

1

2

即可求得α的取值范围．

解答： 解：∵x∈[0，π]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

1

2

sin（x-

π

4

）的最大值为

1

2

，
即f（x）_max=

1

2

，
∵cosα≥f（x）恒成立，
∴cosα≥f（x）_max=

1

2

，
∴2kπ-

π

3

≤α≤2kπ+

π

3

（k∈Z），
∴使f（x）≤cosα恒成立的α的范围为[2kπ-

π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查正弦函数与余弦函数的单调性，考查恒成立问题，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．