Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA₁=

2

．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A₁AE；
（Ⅱ）求点A到平面A₁ED的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,解题方法,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）欲证DE⊥平面A₁AE，根据线面垂直的判定定理可知只需证AE⊥DE，A₁A⊥DE，即可；
（Ⅱ）利用第一问的结果，推出平面AA₁E⊥平面A₁ED，作出垂线，求解即可．

解答： 证明：（Ⅰ）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线段BC的中点，AB=1，AD=2，AA1=

2

，在△AED中，AE=DE=

2

，AD=2，
∴AE⊥DE．
∵A₁A⊥平面ABCD，
∴A₁A⊥DE，
∴DE⊥平面A₁AE．
（Ⅱ）由DE⊥平面A₁AE，∴平面AA₁E⊥平面A₁ED，
过A作AM⊥A₁E，交A₁E于M，由平面与平面垂直的性质定理可知，AM⊥平面A₁ED，
AM就是A到平面A₁ED的距离，在△AA₁E中，AE=

2

，AA1=

2

，AE⊥AA₁，
∴AM=1．
点A到平面A₁ED的距离为：1．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．