Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点为F₁，F₂，点M为椭圆C上的任意一点，$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}$的最小值为2．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F₂作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．

Answer 1

分析 （I）根据向量的坐标求得$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=x₀²-c²+y₀²，由y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，代入，由x₀=0，则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$取最小值，最小值为b²-c²，根据椭圆的离心率公式，联立即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（II）设圆心坐标，求得圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得k，列方程组，求得P点坐标，即可代入椭圆方程成立，则点P在椭圆C上．

解答 解：（I）设M（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（-c，0），
则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-x₀，y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-x₀，y₀），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-x₀，y₀）（c-x₀，y₀）=x₀²-c²+y₀²，
由∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，y₀²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x₀²，
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$）x₀²+b²-c²，
由-a≤x₀≤a，则x₀=0，则$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$取最小值，最小值为b²-c²，
∴b²-c²=2，
由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=4，b²=3，
则椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）证明：由（I）可知F₂（1，0），设以BD为直径的圆E，其圆心E（2，$\frac{t}{2}$），D（2，t），B（2，0），
则圆E（x-2）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=$\frac{{t}^{2}}{4}$，
直线AD的方程为y=$\frac{t}{4}$（x+2），
设过点F₂与圆E相切的直线方程设为x=ky+1，
则$\frac{丨2-\frac{kt}{2}-1丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=丨$\frac{t}{2}$丨，则k=$\frac{4-{t}^{2}}{4t}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{t}{4}（x+2）}\\{x=\frac{4-{t}^{2}}{4t}y+1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}}\\{y=\frac{12t}{12+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，
将（$\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}$，$\frac{12t}{12+{t}^{2}}$）代入椭圆方程成立，即$\frac{（\frac{24-2{t}^{2}}{12+{t}^{2}}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{12t}{12+{t}^{2}}）^{2}}{3}$=1，
∴点P在椭圆C上．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．