Question

10．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：

选考物理、化学、生物的科目数	1	2	3
人数	5	25	20

（I）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（II）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（III）将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“y≥2”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值；
（Ⅱ）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；
（Ⅲ）计算所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数，求出相应的频率，根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率，求出对应的概率值．

解答 解：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则$P（A）=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
$1-P（A）=\frac{29}{49}$；…（3分）
（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2；
则.$P（X=0）=\frac{{C_5^2+C_{25}^2+C_{20}^2}}{{C_{50}^2}}=\frac{20}{49}$，
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_{25}^1+C_{20}^1C_{25}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{25}{49}$，
$P（X=2）=\frac{{C_5^1C_{20}^1}}{{C_{50}^2}}=\frac{4}{49}$；…（6分）
从而X的分布列为：

X	0	1	2
p	$\frac{20}{49}$	$\frac{25}{49}$	$\frac{4}{49}$

数学期望为$E（X）=0×\frac{20}{49}+1×\frac{25}{49}+2×\frac{4}{49}=\frac{33}{49}$；…（8分）
（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，
相应的频率为$P=\frac{25}{50}=\frac{1}{2}$，
由题意知，Y～$B（{4，\frac{1}{2}}）$；…（10分）
所以事件“Y≥2”的概率为
$P（Y≥2）=C_4^2{（{\frac{1}{2}}）^2}{（{1-\frac{1}{2}}）^2}+C_4^3{（{\frac{1}{2}}）^3}（{1-\frac{1}{2}}）+C_4^4{（{\frac{1}{2}}）^4}=\frac{11}{16}$．…（12分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．