Question

15．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函数F（x）=g（x+1）-f（x）有极值为0，求a的值；
（2）若函数G（x）=f[cos（1-x）]+g（x-1）在区间（1，2）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到ln$\frac{1}{a}$-1+a=0，令h（x）=x-1-lnx，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，求出a的值即可；
（2）问题转化为-asint+$\frac{1}{t}$≥0在t∈（0，1）上恒成立，等价于$\frac{1}{t}$≥asint，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）F（x）=ln（x+1）-ax，F′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，
令F′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$-1，由F（x）的极值为0，
所以F（$\frac{1}{a}$-1）=0，所以ln$\frac{1}{a}$-1+a=0，
令h（x）=x-1-lnx，h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0恒成立，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
则h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
所以h（x）在x=1时取得最小值，而h（1）=0，
所以a=1，验证a=1时，F（x）有极值为0，所以a=1．
（2）G（x）=a[cos（1-x）]+ln（x-1），G′（x）=-asin（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，
由题意知G′（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，令x-1=t，
所以有-asint+$\frac{1}{t}$≥0在t∈（0，1）上恒成立，
等价于$\frac{1}{t}$≥asint，由sint＞0，所以当a≤0，符合条件，
当a＞0，$\frac{1}{a}$≥tsint，令P（t）=tsint，P′（t）=sint+tcost，
sint＞0，tcost＞0．则P′（t）≥0恒成立，P（x）的最大值为P（1），
所以0＜a≤sin1．
综合以上可知a≤sin1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．