Question

14．种子发芽率与昼夜温差有关．某研究性学习小组对此进行研究，他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数，如表：

日    期	3月12日	3月13日	3月14日	3月15日	3月16日
昼夜温差（°C）	10	11	13	12	8
发芽数（颗）	23	25	30	26	16

（I）从3月12日至3月16日中任选2天，记发芽的种子数分别为c，d，求事件“c，d均不小于25”的概率；
（II）请根据3月13日至3月15日的三组数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehata+\widehatbx$；
（III）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗，则认为回归方程是可靠的，试用3月12日与16日的两组数据检验，（II）中的回归方程是否可靠？

Answer 1

分析 （I）采用列举的方式，即可求解．
（II）利用公式求出$\hat{b}$，$\hat{a}$，即可得出结论．
（III）把3月12日中的x=10和16日中的x=8带入计算，误差均不超过2颗，认为回归方程是可靠的，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）从5天中任选2天，共有10个基本事件：（12日，13日），（12日，14日），（12日，15日），（12日，16日），（13日，14日），（13日，15日），（13日，16日），（14日，15日），（14日，16日），（15日，16日）．
选出的二天种子发芽数均不小于25共有3个基本事件：（13日，14日），（13日，15日），（14日，15日）．
∴事件“c，d均不小于25”的概率为$P=\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）由表中数据可得$\overline x=\frac{11+13+12}{3}=12，\overline y=\frac{25+30+26}{3}=27$．
则$\sum_{i=1}^3{x_i}{y_i}-3\overline x\overline y$=25×11+30×13+26×12-3×27×12=5．
$\sum_{i=1}^{3}{x}_{i}^{2}$-3$\overline{x}$²=11²+12²+13²-3×12²=-28．
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$-\frac{5}{28}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=27+$\frac{15}{7}$=29$\frac{1}{7}$；
故回归直线方程为$\widehat{y}$=$-\frac{5}{28}$x$+29\frac{1}{7}$．
（III）3月12日中的x=10时，可得：y≈28，误差不超过2颗．
16日中的x=8时，可得：y≈28，误差不超过2颗．
∴（II）中的回归方程不可靠．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．