Question

20．已知函数f（x）=（${\sqrt{3}$cosx-sinx）（cosx+$\sqrt{3}$sinx），则下面结论中错误的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为π
• B． 函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{12}$对称
• C． 函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到
• D． 函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函数

Answer 1

分析 将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．

解答 解：函数$f（x）=（{\sqrt{3}cosx-sinx}）（{cosx+\sqrt{3}sinx}）$，
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+3sinxcosx-sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．∴A对．
令x=$\frac{π}{12}$，即f（$\frac{π}{12}$）=2sin（$\frac{π}{2}$）=2，∴关于直线$x=\frac{π}{12}$对称，B对．
函数g（x）=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，可得：2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≠f（x），∴C不对．
令$-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$上单调递增，可得：$-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{12}$，∴函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函数，∴D对．
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．