Question

设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x-3

x-2

≤0．
（1）若a=1且p∨q为假，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）先求出命题p，q为真时的x的取值范围：命题p为真，a＜x＜3a；命题q为真，2＜x≤3．而由a=1得到：命题p：1＜x＜3，根据p∨q为假知p，q都为假，所以求命题p，q为假时的x的取值范围再求交集即可；
（2）由p是q的必要不充分条件，便可得到

a＞0 a≤2 3a＞3

，解该不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）由（x-a）（x-3a）＜0，a＞0，得a＜x＜3a；
∴a=1时，1＜x＜3，即：
p为真时，1＜x＜3；
由

x-3

x-2

≤0，得2＜x≤3，即：
q为真时，2＜x≤3；
若p∨q为假，则p假，q假，所以

x≤1，或x≥3 x≤2，或x＞3

，∴x≤1，或x＞3；
所以实数x的取值范围是：（-∞，1]∪（3，+∞）；
（2）p是q的必要不充分条件，所以：
由p得不到q，而由q能得到p；
∴

a＞0 a≤2 3a＞3

，∴1＜a≤2；
因此，实数a的取值范围是（1，2]．

点评：考查解一元二次不等式，分式不等式，以及p∨q真假和p，q真假的关系，以及必要条件、充分条件、必要不充分条件的概念．