Question

已知B为线段MN上一点，|MN|=6，|BN|=2，过B作⊙C与MN相切，分别过M，N作⊙C的切线交于P点，则P的轨迹是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，建立坐标系．设MP，NP分别与⊙C相切于D，E两点，利用圆的切线的性质可得：|PM|-|PN|=|DM|-|EN|=|MB|-|BN|=6-2-2=2＜|MN|．利用双曲线的定义即可判断出．

解答： 解：如图所示，
以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，O为坐标原点，建立坐标系．
设MP，NP分别与⊙C相切于D，E两点，
则|PM|-|PN|=|DM|-|EN|=|MB|-|BN|=6-2-2=2＜|MN|．
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，2a=2，2c=6的双曲线的右支（顶点除外）．
∴点P的轨迹方程为：x2-

y2

8

=1(x＞1)．
故答案为：x2-

y2

8

=1(x＞1)．

点评：本题考查了圆的切线的性质、双曲线的定义及其标准方程，考查了推理能力，属于中档题．