Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=

π

3

，且（a-b+c）（a+b-c）=

3

7

bc．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，由cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出cosC的值；
（Ⅱ）由sinC，a，sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）（a-b+c）（a+b-c）=

3

7

bc可得：a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=

3

7

bc，
∴a²=b²+c²-

11

7

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

11

14

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5 3

14

，
则cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

，
在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得：c=

asinC

sinA

=

5× 4 3 7

5 3 14

=8，
则S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×8×

3

2

=10

3

．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．