Question

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）
（1）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
（2）如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
（3）直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
（4）存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）令y=x+

1

2

，可知它不与坐标轴平行又不经过任何整点，可判断本命题正确；
（2）若k=

2

，b=

2

，易知直线y=

2

x+

2

经过（-1，0），可判断本命题错误；
（3）设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），可分析得到直线l经过无穷多个整点，反之，也成立，所以可判断本命题正确；
（4）令直线y=

2

x恰经过整点（0，0），可判断本命题正确．

解答： 解：（1）令y=x+

1

2

，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；
（2）若k=

2

，b=

2

，则直线y=

2

x+

2

经过（-1，0），所以本命题错误；
（3）设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把两点代入直线l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，反之，也成立，所以本命题正确；
（4）令直线y=

2

x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．
综上，命题正确的序号有：（1）（3）（5）．
故答案为：（1）（3）（5）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，深刻理解题意，恰当举例是关键，考查分析推论与运算能力，属于中档题．