Question

已知二次函数f（x）=ax³+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3）且方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[0，3）时，求函数f（x）的取值范围；
（3）是否存在实数m，n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件分别列出三个方程联立求得a和b的值．
（2）首先把二次函数的一般式转化为顶点式，然后根据距离对称轴的远近确定函数的值域．
（3）对n≤1，m≥1和m＜1，n＞1进行分类讨论，根据二次函数的图象找到函数的最大值和最小值表达式，联立方程求得m和n

解答： 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴函数的对称轴方程x=-

b

2a

=1，①，
∵方程f（x）=x有两个相等实根．
∴对于f（x）-x=ax²+（b-1）x=0，△=（b-1）²=0，②
联立①②求得a=-

1

2

  b=1
∴f（x）=-

1

2

x²+x
（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

当x=1时，f（x）_max=

1

2

当x=3时，f(x)min=-

3

2

当x∈[0，3）时，求函数f（x）的取值范围：-

3

2

≤f(x)≤

1

2

（3）①当n≤1时，f（x）在[m，n]单调递减，
所以：

- 1 2 n2+n=3m - 1 2 m2+m=3n

解得：m=n=-4（与m＜n矛盾）或n=12，m=-20与n≤1矛盾故舍去．
②当m≥1时，f（x）在[m，n]单调递增，
所以

- 1 2 n2+n=3n - 1 2 m2+m=3m

解得n=0或n=-4均不合题意故舍去
③同理：当m＜1，n＞1时，由于对称轴为：x=1，
所以3m=-

1

2

+1解得：m=

1

6

令f（m）=-

1

2

×

1

36

+

1

6

=3n解得n＜1不合题意舍去．
令f（n）=-

1

2

n2+n=3n解得：n=0或-4与n＞1相矛盾故舍去
综上所知：不存在m、n使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．

点评：本题考查的知识要点：二次函数的图象和性质，二次函数的根的个数和系数的关系，及分类讨论问题．