Question

已知直线x+

3

y+m=0与圆x²+y²=8交于不同的两点A、B．O是坐标原点，|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，那么实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：设AB线段的中点为 C，可得|OC|≥|AC|，∠AOB≤90°，可得2

2

＞|OC|≥2，即2

2

＞

|m|

2

≥2，解不等式4

2

＞|m|≥4，求得实数m的取值范围．

解答： 解：设AB线段的中点为C，则
∵|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，
∴2|

OC

|≥|

AB

|，
∴|OC|≥|AC|，∴∠AOC≤45°，∠AOB≤90°．
当∠AOB=90°时，|AB|=

2

R=4，圆心到直线的距离|OC|=2，
故当∠AOB≤90°时，由题意可得2

2

＞|OC|≥2，即2

2

＞

|m|

2

≥2，
解得4

2

＞|m|≥4，解得实数m的取值范围是[4，4

2

)∪(-4

2

，-4]．
故答案为：[4，4

2

)∪(-4

2

，-4]．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，向量的和与向量的模．本题解题的关键是|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，转化为2

2

＞|OC|≥2，属于中档题．