Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，c∈R，a＞0，b∈N^*）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，且f（1）＜

5

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）≥mx．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据条件，建立条件关系，求出a，b，c，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论m，即可解不等式f（x）≥mx．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
即

ax2+1

bx+c

=-

ax2+1

-bx+c

∴bx+c=bx-c
∴c=0，
∵a＞0，b＞0
∴f（x）=

ax2+1

bx

=

a

b

x+

1

bx

≥2

a b2

当且仅当x=

1 a

时等号成立．则2

a b2

=2
∴a=b²．
由f（1）＜

5

2

得

a+1

b+c

＜

5

2

，即

b2+1

b

＜

5

2

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

1

2

＜b＜2；
又 b∈N^*，∴b=1   a=1
∴f（x）=x+

1

x

．
（Ⅱ）x+

1

x

≥mx，等价于x[（1-m）x²+1]≥0且x≠0
当m≤1时，1-m≥0，此时不等式的解集为{x|x＞0}
当m＞1时，x(x2+

1

1-m

)≤0，x(x+

1 m-1

)(x-

1 m-1

)≤0且x≠0
所以x≤-

1 m-1

，或0＜x≤

1 m-1

综上，当m≤1时，不等式的解集为{x|x＞0}
当m＞1时，不等式的解集为{x|x≤-

1 m-1

，或0＜x≤

1 m-1

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的求解，利用条件求出a，b，c是解决本题的关键．