Question

已知直线y=kx-4k+1与曲线y=-1+

1-x2

恰有一个公共点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,数形结合

分析：曲线y=-1+

1-x2

表示x²+（y+1）²=1（-1≤y≤0），即圆的上半圆，直线y=kx-4k+1恒过定点（4，1），利用点到直线的距离公式可得结论．

解答： 解：曲线y=-1+

1-x2

表示x²+（y+1）²=1（-1≤y≤0），即圆的上半圆，
直线y=kx-4k+1恒过定点（4，1），
当直线与x²+（y+1）²=1（-1≤y≤0）相切时，

|2-4k|

1+k2

=1，
∴k=

8- 19

15

或K=

8+ 19

15

（舍去）
∴直线y=kx-4k+1与曲线y=-1+

1-x2

恰有一个公共点，实数k的取值范围是

2

5

＜k≤

2

3

．
综上实数k的取值范围是

2

5

＜k≤

2

3

或k=

8- 19

15

．
故答案为：[

2

5

，

2

3

]∪{

8- 19

15

}．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．