Question

已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，-

π

2

＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，-

3

)，若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为

π

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，

π

6

]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为

π

3

，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；
（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[0，

π

6

]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等价于m≥

f(x)

2+f(x)

=1-

2

2+f(x)

，由此可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）角φ的终边经过点P(1，-

3

)，
∴tanφ=-

3

，…（2分）
∵-

π

2

＜φ＜0，∴φ=-

π

3

．…（3分）
由|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为

π

3

，得T=

2π

3

，
即

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=3…..（5分）
∴f(x)=2sin(3x-

π

3

)…（6分）
（2）由-

π

2

+2kπ≤3x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
可得-

π

18

+

2kπ

3

≤x≤

5π

18

+

2kπ

3

，…（8分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

18

+

2kπ

3

，k∈z…（9分）
（3 ） 当x∈[0，

π

6

]时，-

3

≤f(x)≤1，…（11分）
于是，2+f（x）＞0，
∴mf（x）+2m≥f（x）等价于m≥

f(x)

2+f(x)

=1-

2

2+f(x)

…（12分）
由-

3

≤f(x)≤1，得

f(x)

2+f(x)

的最大值为

1

3

…（13分）
∴实数m的取值范围是m≥

1

3

．…（14分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．