Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

5π

12

，

π

6

]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

5π

12

，

π

6

]时，可得2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，利用正弦函数的性质，可求函数f（x）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因为x∈[-

5π

12

，

π

6

]，
所以2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，
所以sin(2x-

π

6

)∈[-1，

1

2

]，
所以2sin(2x-

π

6

)∈[-2，1]，
所以函数f（x）的取值范围为[-2，1]．…（13分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．