Question

设数列{a_n}是公比为q的等比数列，它的前n项和为S_n，若

lim

n→∞

S_n=2，则此等比数列的首项a₁的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的极限

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

=2⇒q=1-

a1

2

∈（-1，1），从而可求得a₁的取值范围．

解答： 解：依题意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

lim

n→∞

S_n=

a1

1-q

，
∵

lim

n→∞

S_n=2，
∴

a1

1-q

=2，
∴q=1-

a1

2

∈（-1，1），q≠0，
即-1＜

a1

2

-1＜1且

a1

2

-1≠0，
解得0＜a₁＜2或2＜a₁＜4．
故答案为：（0，2）∪（2，4）．

点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1-

a1

2

是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．