Question

曲线C的方程为

x=2pt2 y=2pt

（p＞0，t为参数），当t∈[-1，2]时，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S_△AFB=14，求P的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆

分析：把曲线C的方程化为普通方程，求得A、B的坐标，可得|AB|=6

2

p，AB的方程．求出曲线C的焦点F（

p

2

，0）到AB的距离为d．再根据 S_△AFB=14=

1

2

|AB|•d，解得p的值．

解答： 解：把曲线C的方程

x=2pt2 y=2pt

（p＞0，t为参数），化为普通方程为 y²=2px．
当t∈[-1，2]时，曲线C的端点为A，B，可得A（2p，-2p）、B（8p，4p），
∴|AB|=

(8p-2p)2+(4p+2p)2

=6

2

p，
AB的方程为

y+2p

4p+2p

=

x-2p

8p-2p

，即 x-y-4p=0．
再根据曲线C的焦点F（

p

2

，0）到AB的距离为d=

| p 2 -4p|

2

=

7p

2 2

．
再根据 S_△AFB=14=

1

2

|AB|•d=

1

2

×6

2

p×

7p

2 2

=14，解得 p=

2 3

3

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程，抛物线的简单性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．