题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下求y=f（x）在[-3，2]上的最值及相应的x的值．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下求y=f（x）在[-3，2]上的最值及相应的x的值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）由题意知，f（1）=4，f'（1）=3，f'（-2）=0，从而解出参数值，从而得y=f（x）的表达式；
（2）令f′（x）=3x2+4x-4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x的值．
（2）令f′（x）=3x2+4x-4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x的值．
解答：
解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0，且y=f（x）在x=-2时有极值；
∴
，
解得，a=2，b=-4，c=5；
则y=f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2-4x+5，
f′（x）=3x2+4x-4，
令f′（x）=0解得，x=-2或x=
，
又∵x∈[-3，2]，
且f（-2）=13，f（
）=
，f（-3）=8，f（2）=13；
∴当x=±2时，f（x）取得最大值13；
当x=
进，f（x）取得最小值
．
∵曲线y=f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为3x-y+1=0，且y=f（x）在x=-2时有极值；
∴
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解得，a=2，b=-4，c=5；
则y=f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2-4x+5，
f′（x）=3x2+4x-4，
令f′（x）=0解得，x=-2或x=
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又∵x∈[-3，2]，
且f（-2）=13，f（
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∴当x=±2时，f（x）取得最大值13；
当x=
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点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了在闭区间上的最值问题，属于中档题．
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