Question

设函数f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx（a∈R）．
（1）若a=

1

5

，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a为整数，且函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点，试求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=

1

5

代入函数解析式，求出导函数，得到函数在x=1时的导数，求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）把函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点转化为其最大值大于0，然后利用导数求其最大值，解关于a的不等式得答案．

解答： 解：（1）a=

1

5

，则f（x）=

2

5

x²+

21

5

x+lnx，
f′(x)=

4

5

x+

21

5

+

1

x

．
f′(1)=

4

5

+

21

5

+1=6．
又f（1）=

2

5

+

21

5

=

23

5

．
∴f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为y-

23

5

=6(x-1)．
即30x-5y-7=0；
（2）由f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx（a∈R）．
得x＞0，
f′(x)=4ax+a+4+

1

x

=

(ax+1)(4x+1)

x

．
当a≥0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＜0时，可知x∈(0，-

1

a

)时f′（x）＞0，x∈(-

1

a

，+∞)时，f′（x）＜0．
∴x∈(0，-

1

a

)时，f（x）为增函数，x∈(-

1

a

，+∞)时，f（x）为减函数．
故当x=-

1

a

时函数有极大值，也是最大值．
由f（-

1

a

）=2a×(-

1

a

)2+(a+4)(-

1

a

)+ln(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-

2

a

-1＞0，
得ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
由a为整数，
验证a=-1时，ln(-

1

a

)=0，

2

a

+1=-1，满足ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
当a＜-1时，ln(-

1

a

)＜0，

2

a

+1≥0，不满足ln(-

1

a

)＞

2

a

+1．
∴a的值为-1．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．