Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形

（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设二面角C-NB₁-C₁的平面角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间向量及应用

分析：（I）由题意，BA，BC，BB₁ 两两垂直，以BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），证明

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0即可；
（II）

BN

是平面C₁B₁N的一个法向量=（4，4，0），设

a

=（x，y，z）为平面NCB₁ 的一个法向量，求出

a

=（1，1，2），从而得cosθ═

4+4

16+16 1+1+4

=

3

3

；
（III）设P（0，0，a）为BC上一点，

MP

=（-2，0，a），

MP

•

a

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0求出a，从而得到当BP=1时，MP∥平面CNB₁．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁ 两两垂直．
以BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0，

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，
且NB₁ 与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）∵BN⊥平面C₁B₁N，

BN

是平面C₁B₁N的一个法向量=（4，4，0），
设

a

=（x，y，z）为平面NCB₁ 的一个法向量，
则

a

•

CB1

=0，

a

•

NB1

=0，
即：2y-z=0，x+y=0
取

a

=（1，1，2），
则cosθ═

4+4

16+16 1+1+4

=

3

3

；
（Ⅲ）∵M（2，0，0），设P（0，0，a）为BC上一点，
则

MP

=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

•

a

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0，
∴a=1，
又∵MP?平面CNB₁，
∴MP∥平面CNB₁，
即当BP=1时，MP∥平面CNB₁．

点评：本题考查了空间向量的应用，空间向量可使空间中平行与垂直的判断转化为数的运算，非常方便，同时考查了二面角的求法，属于难题．