Question

已知点P（-1，

3

2

）是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用点差法能证明AB的斜率为定值

1

2

．

解答： （1）∵PF₁⊥x轴，∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
∴|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，|PF₁|=

02+( 3 2 )2

=

3

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=λ

PO

，得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ），
又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
①式代入得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

．
∴直线AB的斜率为定值

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．