题目内容

已知矩阵A=
12
-14
，
（1）求A的逆矩阵A-1；  
（2）求A的特征值和特征向量．
考点：特征值与特征向量的计算
专题：矩阵和变换
分析：（1）求出detA=6，即可求出矩阵M的逆矩阵A-1；
（2）首先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0，解方程即可求出特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
解答： 解：（1）矩阵A=
12
-14
，
detA=1×4-（-1）×2=6，
所以A的逆矩阵A-1=
2
3
1
3
1
6
-
1
6
；
（2）A的特征多项式f（λ）=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=0，
解得λ1=2，λ2=3，
将λ1=2代入二元一次方程组，可得
(λ-1)x-2y=0
x+(λ-4)y=0
，
解得x-2y=0，
所以矩阵A属于特征值2的一个特征向量为
2
1
；
同理，矩阵A属于特征值3的一个特征向量为
1
1
．
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x，（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a2+
25
4
）ex，若存在ξ1，ξ2∈[0，4]，使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜
25
4
成立，求实数a的取值范围．
定义域为R的函数f（x）=f（x+2k）（k∈Z）及f（-x）=-f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=
2x
4x+1
．
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（2）求证：f（x）在x∈（0，1）上是减函数．
若函数f（x）=x2-2x+2．
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（3）求（2）中函数g（t）当t∈[-3，-2]时的最值．
已知点P（-1，
3
2
）是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
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（2）设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．
若A={1，2，4，6}，B={2，4，7}，则A∪B=
 
．
设f（x）=
ln(x-2)(x＞2)
2x+
∫
a
0
3t2dt(x≤2)
，若f（f（3））=9，则a=
 
．
已知{an}和{bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，且
Sn
Tn
=
n+1
2n+1
，则
a5
b3
的值为
 
．
已知直线y=kx-1始终与线段y=1（-1＜x＜1）相交，则实数k的取值范围
 
．

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