题目内容
如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A，B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费4元，游轮每千米耗费24元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？
考点：在实际问题中建立三角函数模型
专题：应用题,导数的综合应用
分析：（1）由题在△ACD中，由余弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．
（2）利用导数求得cosα=
时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．
（2）利用导数求得cosα=
| 1 |
| 3 |
解答：
解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=
，∠CDA=α，∴∠ACD=
-α．
又AB=BC=CA=10，△ACD中，
由正弦定理知
=
=
，得CD=
，AD=
…（3分）
∴S=8AD+16BD+24CD=
+160
=40
•
+120（
＜α＜
）．…（7分）
（2）S′=40
×
，令S′=0，得cosα=
．…（10分）
当cosα＞
时，S′＜0；当cosα＜
时，S′＞0，∴当cosα=
时S取得最小值．…（12分）
此时，sinα=
，AD=
=5+
，
∴中转站距A处5+
千米时，运输成本S最小．…（14分）
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
又AB=BC=CA=10，△ACD中，
由正弦定理知
| CD | ||
sin
|
| AD | ||
sin(
|
| 10 |
| sinα |
5
| ||
| sinα |
10sin(
| ||
| sinα |
∴S=8AD+16BD+24CD=
120
| ||||
| sinα |
=40
| 3 |
| 3-cosα |
| sinα |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（2）S′=40
| 3 |
| 1-3cosα |
| sin2α |
| 1 |
| 3 |
当cosα＞
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
此时，sinα=
2
| ||
| 3 |
5
| ||
| sinα |
5
| ||
| 4 |
∴中转站距A处5+
5
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．
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