题目内容
已知函数f（x）=
，求f（x）的值域以及在（0，+∞）上的单调性．
| 2x+1 |
| 2x-1 |
考点：指数函数综合题
专题：函数的性质及应用
分析：（1）函数f（x）=
，可变为2x=
＞0，解不等式即可求解．
（2）f（x1）-f（x2）=1+
-1-
=
，判断每个因式符号即可判断差的符号．最后根据单调性的定义判断．
| 2x+1 |
| 2x-1 |
| y+1 |
| y-1 |
（2）f（x1）-f（x2）=1+
| 2 |
| 2x1-1 |
| 2 |
| 2x2-1 |
| 2(2x2-2x1) |
| (2x1-1)(2x2-1) |
解答：
解：（1）∵函数f（x）=
，
∴函数f（x）=
=1+
，
得：2x=
＞0，解得；y＞1或y＜-1，
所以f（x）的值域：（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）∵设0＜x1＜x2，∴1＜2 x1＜2 x2，2 x1-1＞0，2 x2-1＞0，2 x2-2 x1＞0
f（x1）-f（x2）=1+
-1-
=
＞0，
即f（x1）＞f（x2），∵0＜x1＜x2，∴在（0，+∞）上的单调递减．
| 2x+1 |
| 2x-1 |
∴函数f（x）=
| 2x+1 |
| 2x-1 |
| 2 |
| 2x-1 |
得：2x=
| y+1 |
| y-1 |
所以f（x）的值域：（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）∵设0＜x1＜x2，∴1＜2 x1＜2 x2，2 x1-1＞0，2 x2-1＞0，2 x2-2 x1＞0
f（x1）-f（x2）=1+
| 2 |
| 2x1-1 |
| 2 |
| 2x2-1 |
| 2(2x2-2x1) |
| (2x1-1)(2x2-1) |
即f（x1）＞f（x2），∵0＜x1＜x2，∴在（0，+∞）上的单调递减．
点评：本题考查了指数函数的单调性的运用，借助指数函数的性质，判断有关的函数的单调性，值域问题，主要是把函数解析式的分子分离变形．
练习册系列答案
相关题目