题目内容

某学校计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形ADEF健身场地，如图，A=
π
2
，∠ABC=
π
6
，点D在AC上，点E在斜边BC上，且点F在AB上，AC=40米，设AD=x米．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）若矩形健身场地面积不小于144
3
平方米，求x的取值范围；
（3）设矩形健身场地每平方米的造价为
37
S
，再把矩形ADEF以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为
12
S
，求总造价T关于S的函数T=f（S）；并求出AD的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）利用矩形健身场地面积不小于144
3
平方米，建立不等式，即可求x的取值范围；
（3）求出总造价，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
解答： 解：（1）在Rt△EDC中，显然|DC|=40-x，∠ECD=60°
∴|ED|=|DC|tan60°=
3
（40-x），
矩形ADEF的面积S=|AD||AF|=
3
x（40-x），x∈（0，40）
于是0＜S≤400
3
为所求；
（2）∵矩形健身场地面积不小于144
3
平方米，
∴
3
x（40-x）≥144
3
，
∴4≤x≤36；
（3）矩形ADEF健身场地造价T1=37
S

又△ABC的面积为800
3
，即草坪造价T2=
12
S
（800
3
-S）
由总造价T=T1+T2，∴T=25（
S
+
384
3
S
）≥200
6
3

当且仅当
S
=
384
3
S
即S=384
3
时等号成立，
此时
3
x（40-x）=384
3
，解得x=16或x=24，
∴选取|AD|的长为16米或24米时总造价T最低．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用、矩形的面积等基础知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF折起，得到如图乙所示的三棱锥A-BCF．
（1）证明：DE∥平面BCF；
（2）证明：平面DEG∥平面BCF．
已知向量
m
=（sinx，
3
sinx），
n
=（sinx，-cosx），设函数f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+sin（2A-
π
6
）=1，b+c=7，△ABC的面积为2
3
，求边a的长．
如图，在四边形ABCD中，DA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥CD，AF⊥DB，求证：
（1）EF⊥DC；
（2）平面DBC⊥平面AEF．
（文科）设函数f（x）=
2x+a
x+1
（a≠2）．
（1）用反证法证明：函数f（x）不可能为偶函数；
（2）求证：函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减的充要条件是a＞2．
已知x≥1，y≥1，求证：x2y+xy2+1≤x2y2+x+y．
设函数f（x）=
2x
1+2x
-
1
2
，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]的值域是
 
．
若数列{an}满足a1=2，an+1=
1+an
1-an
（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014=
 
．
从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=4，∠A=90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为
 
．

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