Question

已知函数g（x）=

1

3

x³+2x-3+

m

x

（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先求出m的最大值为3，可得g(x)=

1

3

x3+2x-3+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），利用函数g（x）的图象关于点Q（0，-3）成中心对称，即可求出点Q的坐标．

解答： 解：由g(x)=

1

3

x3+2x-3+

m

x

得g′(x)=x2+2-

m

x2

．
∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2-

m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．设x²=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立．
设y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞），
因为y′=1+

m

t2

＞0，所以函数y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上单调递增，
因此y_min=3-m．
∵y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3．
又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值为3．
故得g(x)=

1

3

x3+2x-3+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
将函数g（x）的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为ϕ(x)=

1

3

x3+2x+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
由于ϕ（-x）=-ϕ（x），所以ϕ（x）为奇函数，故ϕ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．
由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，-3）成中心对称．
这表明存在点Q（0，-3），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．
故答案为：（0，-3）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．