Question

已知函数f（x）=|x²-a|-ax+1（a∈R）（1）当a＜0时，f（x）在[-2，-1]上是单调函数
（1）求实数a的取值范围；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值M（a）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由a＜0，得到f（x）=x²-ax-a+1，求其对称轴，根据f（x）在[-2，-1]上是单调函数即可求得a的取值范围；
（2）为去绝对值，所以讨论a的取值：分成a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况，根据二次函数的单调性即可求出每种情况下的f（x）的最大值，从而可最后写出最大值M（a）．

解答： 解：（1）a＜0时，f（x）=x²-ax-a+1；
该函数对称轴为x=

a

2

；
∵f（x）在[-2，-1]上是单调函数；
∴

a

2

≤-2，或

a

2

≥-1；
∴a≤-4，或-2≤a＜0；
∴a的取值范围为（-∞，-4]∪[-2，0）；
（2）①若a≤0，f（x）=x²-ax-a+1；
对称轴为x=

a

2

；
∴函数f（x）在[0，1]上单调递增；
∴此时，f（x）的最大值为f（1）=2-2a；
②若0＜a＜1；
x∈[0，

a

）时，f（x）=-x²-ax+a+1，f（x）在[0，

a

）单调递减，最大值为f（0）=a+1；
x∈[

a

，1]时，f（x）=x²-ax-a+1，对称轴

a

2

＜

a

，f（x）在[

a

，1]上单调递增，最大值为f（1）=2-2a；
a+1-（2-2a）=3a-1；
∴0＜a≤

1

3

时，a+1≤2-2a，∴此时f（x）的最大值为2-2a；

1

3

＜a＜1时，a+1＞2-2a，∴f（x）的最大值为a+1；
③若a≥1，f（x）=-x²-ax+a+1，f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（0）=a+1；
∴综上得M（a）=

2-2a a≤0，或0＜a≤ 1 3 a+1 a＞ 1 3

．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值，根据二次函数的单调性求其最大值．