Question

7．如图，双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．且|OA|+|OB|=2|AB|．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）利用极限方程，通过|OA|+|OB|=2|AB|转化求出$|{OA}|=\frac{3}{5}|{OB}|$，推出$2{（\frac{a}{c}）^2}-1=\frac{3}{5}$，解得离心率．
（2）通过$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，可设a=2t（t＞0），双曲线方程表示为$\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1$；联立直线AB方程与双曲线方程，利用弦长公式求解即可．

解答 解：（1）由题意，得F（c，0），l₁的方程为bx-ay=0，∴$|{FA}|=\frac{bc}{{\sqrt{{b^2}+{{（-a）}^2}}}}=b$，从而|OA|=a；
由|OA|+|OB|=2|AB|得：$|{AB}|=\frac{1}{2}（|{OA}|+|{OB}|）$，联立|OA|²+|AB|²=|OB|²，得5|OA|²+2|OA|•|OB|-3|OB|²=0，解得$|{OA}|=\frac{3}{5}|{OB}|$，所以$cos∠AOB=\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}=\frac{3}{5}$
∵cos∠AOB=cos2∠AOF=2cos²∠AOF-1，∴$2{（\frac{a}{c}）^2}-1=\frac{3}{5}$，解得离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（6分）
（2）由（1）$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，可设a=2t（t＞0），则$c=\sqrt{5}t$，从而b=t，因此双曲线方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$可表示为$\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1$；过F的直线AB方程为$y=-2（x-\sqrt{5}t）$，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1\\ y=-2（x-\sqrt{5}t）\end{array}\right.$，整理得：$15{x^2}-32\sqrt{5}tx+84{t^2}=0$，由韦达定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{32\sqrt{5}}}{15}t$，${x_1}•{x_2}=\frac{28}{5}{t^2}$，由题设得$4=\sqrt{[{1+{{（-2）}^2}}][{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\frac{4}{3}t$，解得t=3，故所求的双曲线方程为$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$．…（12分）

点评 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的离心率以及弦长公式的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．