Question

17．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为$\frac{4}{9}$，乙、丙应聘成功的概率均为$\frac{t}{3}$（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（1）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是$\frac{16}{81}$，求t的值；
（2）在（1）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件的概率公式列出方程求解即可；
（2）由（1）得乙应聘成功的概率，写出ξ的可能取值，
利用相互独立与互斥事件的概率公式和数学期望公式计算即可．

解答 解：（1）依题意，甲、乙、丙都应聘成功的概率是
P=$\frac{4}{9}$×$\frac{t}{3}$×$\frac{t}{3}$=$\frac{16}{81}$，
解得t=2；
（2）由（1）得乙应聘成功的概率为$\frac{2}{3}$，
则ξ的可能取值为0，1，2；
且P（ξ=0）=（1-$\frac{4}{9}$）×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{27}$，
P（ξ=1）=$\frac{4}{9}$×（1-$\frac{2}{3}$）+（1-$\frac{4}{9}$）×$\frac{2}{3}$=$\frac{14}{27}$，
P（ξ=2）=$\frac{4}{9}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$；
所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{5}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{8}{27}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{5}{27}$+1×$\frac{14}{27}$+2×$\frac{8}{27}$=$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算与数学期望的计算问题，是中档题．